Teorema fundamental de la aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos.

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.

 Es decir, existe una única factorización en números primos de cada número entero natural no nulo y, a la inversa, cada producto de factores primos tiene como resultado un único número natural no nulo. Habitualmente, los factores del producto se escriben de menor a mayor.

Para demostrar este teorema se suelen usar pruebas constructivas: primero se demuestra que todos los números enteros naturales pueden escribirse como producto de números primos y después se debe demostrar que esa descomposición sea única (independientemente del orden en el que se presenten los factores).

Es fácil demostrar este teorema para los primeros nueve números naturales. Se puede concluir que también, no  se verifica en el resto por el método de inducción.

Suponemos que podemos descomponer en primos todos los enteros entre 2 y n-1 (An-1) En el caso del entero n, no primo, su factor será a, y b=n/a. Entonces, n=ab siendo a≤n-1 y b≤n-1.

Al suponer An-1, podemos afirmar que a y b se descomponen en factores primos y, por tanto, n será igual al producto de dichos factores, que es un producto de números primos: An también es una afirmación cierta. Como A1 es cierta y An-1 implica An, An será cierta siempre que n≥1.

Para demostrar la unicidad suele recurrirse al teorema de Elucides.

Si tiene alguna duda puede consultar este vídeo.