Triangulo de Pascal y su relación con el binomio de Newton

Binomio de Newton

El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. 

Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.

(En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma)

 

Triángulo de Pascal

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia,Niccolò Fontana apodado tartamudo):El método recibe el nombre de triángulo de Pascal y se construye de la siguiente forma (por filas y de arriba a abajo):

· En el vértice se coloca un 1.

· Cada fila empieza y acaba en 1.

· Los otros números de la fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima.

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:

(a+b)

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1. 

Si tiene alguna duda, favor de ver el vídeo:

 Triangulo de Pascal y su relación con el binomio de Newton

Binomio de Newton

El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. 

Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.

(En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma)

 

Triángulo de Pascal

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia,Niccolò Fontana apodado tartamudo):El método recibe el nombre de triángulo de Pascal y se construye de la siguiente forma (por filas y de arriba a abajo):

· En el vértice se coloca un 1.

· Cada fila empieza y acaba en 1.

· Los otros números de la fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima.

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:

(a+b)

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1. 

Si tiene alguna duda, favor de ver el vídeo:

Teorema fundamental de la aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos.

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.

 Es decir, existe una única factorización en números primos de cada número entero natural no nulo y, a la inversa, cada producto de factores primos tiene como resultado un único número natural no nulo. Habitualmente, los factores del producto se escriben de menor a mayor.

Para demostrar este teorema se suelen usar pruebas constructivas: primero se demuestra que todos los números enteros naturales pueden escribirse como producto de números primos y después se debe demostrar que esa descomposición sea única (independientemente del orden en el que se presenten los factores).

Es fácil demostrar este teorema para los primeros nueve números naturales. Se puede concluir que también, no  se verifica en el resto por el método de inducción.

Suponemos que podemos descomponer en primos todos los enteros entre 2 y n-1 (An-1) En el caso del entero n, no primo, su factor será a, y b=n/a. Entonces, n=ab siendo a≤n-1 y b≤n-1.

Al suponer An-1, podemos afirmar que a y b se descomponen en factores primos y, por tanto, n será igual al producto de dichos factores, que es un producto de números primos: An también es una afirmación cierta. Como A1 es cierta y An-1 implica An, An será cierta siempre que n≥1.

Para demostrar la unicidad suele recurrirse al teorema de Elucides.

Si tiene alguna duda puede consultar este vídeo.