Triangulo de Pascal y su relación con el binomio de Newton

Binomio de Newton

El binomio de Newton es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. 

Los números combinatorios que aparecen en la fórmula son precisamente los llamados coeficientes binomiales.

(En el caso en que en el binomio figure un signo menos, los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma)

 

Triángulo de Pascal

Pascal ideó una manera sencilla de calcular números combinatorios (aunque en algunos textos esta idea se atribuye a Tartaglia,Niccolò Fontana apodado tartamudo):El método recibe el nombre de triángulo de Pascal y se construye de la siguiente forma (por filas y de arriba a abajo):

· En el vértice se coloca un 1.

· Cada fila empieza y acaba en 1.

· Los otros números de la fila son siempre la suma de los dos que tiene justo encima.

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)n está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:

(a+b)

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:

          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1. 

Si tiene alguna duda, favor de ver el vídeo: